计量｜什么是虚拟变量

计量

什么是虚拟变量

虚拟变量（Dummy Variable），又称哑变量或指示变量，是统计学和计量经济学中用于将定性数据（分类变量）转换为定量数据（数值变量）的一种方法。它通过赋予不同类别特定的数值（通常是0或1），使得分类变量能够被纳入回归模型等定量分析中。

  • 定性数据（Categorical Data）
    定性数据表示事物的类别或属性，可分为：
    名义变量（Nominal Variable）：类别间无顺序关系
    例：性别（男/女）、地区（东部/中部/西部）、血型（A/B/O/AB）
    有序变量（Ordinal Variable）：类别间有顺序关系
    例：教育水平（小学/中学/大学）、满意度（不满意/一般/满意）
  • 定量数据：
    定量数据是可直接进行数学运算的数值型变量，分为连续变量和离散变量。
    连续变量：身高、体重、温度
    离散变量：年龄、家庭人口数

虚拟变量的定义

虚拟变量是一种只有0和1两种取值的变量，用于表示某一类别是否存在。例如：

  • 性别：男（1），女（0）
  • 地区：东部（1），非东部（0）

为什么需要虚拟变量

许多统计模型只能处理数值型变量，分类变量无法直接参与计算，而在实际中，有可能收到这些因素的影响，或者我们想要研究性别、地区、行业是否对收入有影响，这个时候就需要量化，将其变为虚拟变量。通过引入虚拟变量，可以将分类信息编码为数值，使其能够被模型识别和利用。

虚拟变量的构造方法

对于有 $k$ 个类别的分类变量，通常需要引入 $k-1$ 个虚拟变量。例如：

地区 $D_1$ $D_2$
东部 1 0
中部 0 1
西部 0 0

其中，$D_1$ 表示“东部”，$D_2$ 表示“中部”，西部作为基准组，即当 $D_1 = 0，D_2 = 0$ 时，表示“西部”。

虚拟变量陷阱

在回归模型中，若为 $k$ 个类别引入 $k$ 个虚拟变量，会导致多重共线性（虚拟变量陷阱）。这是因为如上所述，基准组可以由前$k-1$个变量表示。因此，通常只需引入 $k-1$ 个虚拟变量，剩下的类别作为基准组。
如上述例子所示，$D_1=1,D_2=0$为东部，$D_1=0,D_2=1$为中部，当$D_1=0,D_2=0$为西部。这个时候就没有必要额外引入一个$D_3$变量了。

应用举例

假设我们要分析工资与性别的关系，可以建立如下回归模型：

\begin{align}
工资 = \beta_0 + \beta_1 D_1 + \beta_1 \times D_2+ \epsilon
\end{align}

\begin{align}
工资 = 5000 + 50 \times D + \epsilon
\end{align}

\begin{align}
工资 = 5000 + 50 \times 0 + \epsilon
\end{align}

\begin{align}
工资 = 5000 + 50 \times 1 + \epsilon
\end{align}

$$从上述对比中可以发现，男性的工资比女性高50个单位。而 5000 是平均工资水平。若$\beta_1=50$系数在给定的显著性水平下显著，那么我们就有理由说，性别对工资有显著影响。

stata 实现

在这里我们还是使用 stata 自带的 auto 数据集来演示虚拟变量的使用。
导入数据集：

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. sysuse auto, clear
(1978 automobile data)

. tab foreign # 查看foreign变量的取值   

 Car origin |      Freq.     Percent        Cum.
------------+-----------------------------------
   Domestic |         52       70.27       70.27
    Foreign |         22       29.73      100.00
------------+-----------------------------------
      Total |         74      100.00


可以发现，foreign的取值为国内(Domestic)和国内(Foreign)，在 stata 里面，foreign 以及进行虚拟变量处理了，可以通过下列命令查看。
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. label list  origin
origin:
           0 Domestic
           1 Foreign


在这里，origin 是 foreign 值标签。从这里可以发现，0 表示国内，1 表示国外。
从这个地方可以看出
alt text
若要从0 开始构建虚拟变量，我们需要将 foreign 恢复为原始值，在这个地方我们进行下列操作进行还原。
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. gen foreign_str = ""
(74 missing values generated)

. replace foreign_str = "Domestic" if foreign == 0
variable foreign_str was str1 now str8
(52 real changes made)

. replace foreign_str = "Foreign" if foreign == 1
(22 real changes made)

. tab foreign_str

foreign_str |      Freq.     Percent        Cum.
------------+-----------------------------------
   Domestic |         52       70.27       70.27
    Foreign |         22       29.73      100.00
------------+-----------------------------------
      Total |         74      100.00


这个地方我们生成了一个新变量，名为foreign_str，用来保存foreign变量的原始值。通过tab 查看可以发现，和 foreign的值是一样的。
接下来，我们进行虚拟变量的生成。
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. gen foreign_dummy = 0 # 生成新变量，并将其全部赋值为 0 

. replace foreign_dummy = 1 if foreign_str == "Foreign" 将满足条件的值改为 1
(22 real changes made) 

. tab foreign_dummy

foreign_dum |
         my |      Freq.     Percent        Cum.
------------+-----------------------------------
          0 |         52       70.27       70.27
          1 |         22       29.73      100.00
------------+-----------------------------------
      Total |         74      100.00

. 
end of do-file

.

至此，我们就完成了虚拟变量的构建，接下来就可以将其放入模型中进行回归处理了。
接下来，我们研究汽车价格和来源是否为国外的关系进行研究。在 stata 中，接着运行以下代码进行回归：
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. reg price foreign_dummy # 也可以将foreign_dummy换为foreign

      Source |       SS           df       MS      Number of obs   =        74
-------------+----------------------------------   F(1, 72)        =      0.17
       Model |  1507382.66         1  1507382.66   Prob > F        =    0.6802
    Residual |   633558013        72  8799416.85   R-squared       =    0.0024
-------------+----------------------------------   Adj R-squared   =   -0.0115
       Total |   635065396        73  8699525.97   Root MSE        =    2966.4

-------------------------------------------------------------------------------
        price | Coefficient  Std. err.      t    P>|t|     [95% conf. interval]
--------------+----------------------------------------------------------------
foreign_dummy |   312.2587   754.4488     0.41   0.680    -1191.708    1816.225
        _cons |   6072.423    411.363    14.76   0.000     5252.386     6892.46
-------------------------------------------------------------------------------
. 
end of do-file


从上述结果我们可以构建下列的回归方程：

$$\begin{align}
price = 6072.423 + 312.2587 \times foreign_dummy
\end{align}

$$但是在这里我们可以发现，$foreign_dummy$的$p $值为0.680，大于0.1，因此我们无法拒绝$H_0$，即$foreign_dummy$对$price$的贡献为0。则我们没有理由认为$foreign_dummy$对$price$有显著的影响。即表示国外车与国内车的平均价格差异